Question

有一張矩形紙片ABCD，已知AB=2，AD=5．把這張紙片折疊，使點A落在邊BC上的點E處，折痕為MN，MN交AB于M，交AD于N．

（1）若BE=，試畫出折痕MN的位置，并求這時AM的長；

（2）點E在BC上運動時，設BE=x，AN=y，試求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；

（3）連接DE，是否存在這樣的點E，使得△AME與△DNE相似？若存在，請求出這時BE的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【考點】翻折變換（折疊問題）；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．

【專題】壓軸題；開放型；操作型．

【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)，折疊前后線段相等，即AM=ME，再由勾股定理求得AM=．

（2）仿（1）可求AM=．又根據(jù)折疊的性質(zhì)，可證△AMN∽△BEA，得=，推出，定義域為：．

（3）可用分析法：若△AME與△DNE相似，可推出DN=NE=NA=，進而取得BE=1．

【解答】解：（1）畫出正確的圖形．（折痕MN必須與AB、AD相交）

設AM=t，則ME=t，MB=2﹣t，由BM²+BE²=ME²，得t=，即AM=．

（2）如上圖（a），仿（1）得，AM=．

由△AMN∽△BEA，得=，推出，

∵0＜x≤2，0＜y≤5，

x的取值范圍為：．

（3）如上圖（b），若△AME與△DNE相似，不難得∠DNE=∠AME．

又因為AM=ME，所以DN=NE=NA=，所以，

解得：x=1或x=4．

又∵，故x=1．

或者由∠DEN=∠AEM，得∠AED=90°，

推出△ABE∽△ECD，

從而得BE=1．