Question

已知：矩形ABCD中，AB=6，AD=8，將矩形頂點B沿GF折疊，使B落在AD上（不與A、D重合）的E處，點G、F分別在AB、BC上．
（1）不論點E在何處，試判斷△BFE的形狀；
（2）若AG：GB=1：2時，求證：EG平分∠AEB；
（3）若=，試求BF的長．

Answer 1

（1）證明：∵矩形頂點B沿GF折疊B落在AD上（不與A、D重合）的E處，
∴BF=EF，
∴△BEF是等腰三角形；

（2）證明：∵AG：GB=1：2，AB=6，
∴AG=6×=2，GB=6×=4，
由翻折性質(zhì)，EG=BG=4，
在Rt△AGE中，AE===2，
∴==，
==，
∴=，
又∵∠A=∠A，
∴△ABE∽△AEG，
∴∠AEG=∠ABE，
由EG=BF得，∠ABE=∠BEG，
∴∠AEG=∠BEG，
∴EG平分∠AEB；

（3）解：∵=，AB=6，
∴AG=6×=，BG=6×=，
由翻折性質(zhì)，EG=BG=，
在Rt△AGE中，AE===，
由翻折的性質(zhì)，∠EBF+∠BFG=90°，
∵∠ABE+∠EBF=∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠BFG，
又∵∠A=∠ABF=90°，
∴△ABE∽△BFG，
∴=，
即=，
解得BF=．
分析：（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得BF=EF，然后判定為等腰三角形；
（2）先求出AG、BG的長，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得EG=BG，利用勾股定理列式求出AE，然后求出=，證明得到△ABE和△AEG相似，再利用相似三角形對應(yīng)角相等可得∠AEG=∠ABE，再根據(jù)等邊對等角可得∠ABE=∠BEG，然后求出∠AEG=∠BEG，根據(jù)角平分線定義證明即可；
（3）求出AG、BG的長，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得EG=BG，利用勾股定理列式求出AE，再求出△ABE和△BFG相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式計算即可得解．
點評：本題考查了翻折的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)翻折變換求出線段的長度，然后求出三角形相似是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．