Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AC⊥BC，
（1）求證：△ADC∽△BCA；
（2）若AB=9，CD=4，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：∵在梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，
∴∠ACD=∠BAC，∠D=180°-∠DAB=90°，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠D，
∴△ADC∽△BCA；

（2）解：∵△ADC∽△BCA；
∴，
∴AC²=AB•CD，
∵AB=9，CD=4，
∴AC²=9×4=36，
∴AC=6．
分析：（1）由在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AC⊥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)，易證得∠ACD=∠BAC，∠ACB=∠D=90°，然繼而可證得：△ADC∽△BCA；
（2）由△ADC∽△BCA，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得AC的長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．