Question

12．如圖，一次函數(shù)y=ax-2（a≠0）的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象交于第二象限的點，且與x軸、y軸分別交于點C、D．已知tan∠AOC=$\frac{1}{3}$，AO=$\sqrt{10}$．
（1）求這個一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
（2）若點F是點D關(guān)于x軸的對稱點，求△ABF的面積．

Answer 1

分析 （1）先過點A作AE⊥x軸于E，構(gòu)造Rt△AOE，再根據(jù)tan∠AOC=$\frac{1}{3}$，AO=$\sqrt{10}$，求得AE=1，OE=3，即可得出A（-3，1），進而運用待定系數(shù)法，求得一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
（2）先點F是點D關(guān)于x軸的對稱點，求得F（0，2），再根據(jù)解方程組求得B（1，-3），最后根據(jù)△ABF的面積=△ADF面積+△BDF面積，進行計算即可．

解答 解：（1）過點A作AE⊥x軸于E，
∵tan∠AOC=$\frac{1}{3}$，AO=$\sqrt{10}$，
∴Rt△AOE中，AE=1，OE=3，
∵點A在第二象限，
∴A（-3，1），
∵反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象過點A，
∴k=-3×1=-3，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=-$\frac{3}{x}$，
∵一次函數(shù)y=ax-2（a≠0）的圖象過點A，
∴1=-3a-2，
解得a=-1，
∴一次函數(shù)的解析式為y=-x-2；

（2）一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=-x-2中，令x=0，則y=-2，
∴D（0，-2），
∵點F是點D關(guān)于x軸的對稱點，
∴F（0，2），
∴DF=2+2=4，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-2}\\{y=-\frac{3}{x}}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
∴B（1，-3），
∵△ADF面積=$\frac{1}{2}$×DF×CE=6，
△BDF面積=$\frac{1}{2}$×DF×|x_B|=2，
∴△ABF的面積=△ADF面積+△BDF面積=6+2=8．

點評 本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點問題，解決問題的關(guān)鍵是運用待定系數(shù)法求得一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式．解題時注意：求正比例函數(shù)，只要一對x，y的值就可以；而求一次函數(shù)y=kx+b，則需要兩組x，y的值．