Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線y=ax²+c與x軸交于點(diǎn)A（-2，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，2

3

），線段AC上有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，線段AB上有另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似？如果存在，請求出對應(yīng)的t的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用等定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可，
（2）先求出AO，OC和AC，分兩種情況①若∠APQ=90° 則cos∠CAO=cos∠PAQ，②若∠AQP=90°，則cos∠CAO=cos∠PAO，求解．

解答：解：（1）把A（-2，0），C（0，2

3

）代入到y(tǒng)=ax²+c，得
0=4a+2

3

，
解得：a=-

3

2

．
故該拋物線的解析式為：y=-

3

2

x2+2

3

；

（2）在y=-

3

2

x2+2

3

中，
令y=0，則x₁=-2，x₂=2．則B（2，0）．
∵AB=4，
∴AP=t，AQ=4-2t．
∵在Rt△AOC中，AO=2，OC=2

3

，
∴AC=4，
∴cos∠CAO=

AO

AC

=

1

2

；
①如圖1，若∠APQ=90°時(shí)，則cos∠CAO=cos∠PAQ
∵

1

2

=

AP

AQ

，
∴

1

2

=

t

4-2t

，
∴t=1．
②如圖2，若∠AQP=90°時(shí)，則cos∠CAO=cos∠PAQ
∵

1

2

=

AQ

AP

，
∴

1

2

=

4-2t

t

，
∴t=

8

5

．
綜上所述，當(dāng)t=1或t=

8

5

時(shí)，以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似．

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題．其中涉及到待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．注意，解答（2）題時(shí)，由于沒有指出這組相似三角形的對應(yīng)角，所以應(yīng)該分類討論，以防漏解．