Question

11．如圖，在五邊形ABCDE中，∠BAE=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，在BC，DE上分別找出一點M，N，使得△AMN的周長最小時，則∠AMN+∠ANM的度數(shù)為多少？

Answer 1

分析 根據(jù)要使△AMN的周長最小，即利用點的對稱，讓三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和ED的對稱點A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，進(jìn)而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．

解答 解：作A關(guān)于BC和ED的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交ED于N，則A′A″即為△AMN的周長最小值．作DA延長線AH，
∵∠BAE=120°，
∴∠HAA′=60°，
∴∠A′+∠A″=∠HAA′=60°，
∵∠A′=∠MAA′，∠NAE=∠A″，
且∠A′+∠MAA′=∠AMN，∠NAE+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠A′+∠MAA′+∠NAE+∠A″=2（∠A′+∠A″）=2×60°=120°，
故答案為120°．

點評 此題主要考查了平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出M，N的位置是解題關(guān)鍵．