Question

如圖，△AGB中，以邊AG、AB為邊分別作正方形AEFG、正方形ABCD，線段EB和GD相交于點H，tan∠AGB=，點G、A、C在同一條直線上．
（1）求證：EB⊥GD；
（2）若∠ABE=15°，AG=，求BE的長．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形AEFG和四邊形ACBD是正方形，
∴AG=AE，AB=AD，∠GAE=∠DAB=90°，
∴∠GAE+∠DAE=∠DAB+∠DAE，
∴∠GAD=∠EAB，
∵在△GAD和△EAB中

∴△GAD≌△EAB（SAS），
∴∠AGD=∠AEB，
∵∠GAE=90°，
∴∠AGD+∠GMA=90°，
∵∠GMA=∠EMH，
∴∠AEB+∠EMH=90°，
∴∠EHM=180°-90°=90°，
∴BE⊥DG．

（2）解：連接BD交AC于O，則AC⊥BD，
∵，
設(shè)BO=3x，則GO=4x
∴GA=4x-3x=，
∴x=
∴OD=OB=3，OG=4，
∴GD=5，BD=6，
由①得△GAD≌△EAB，
∴BE=GD=5．
分析：（1）根據(jù)正方形性質(zhì)得出AG=AE，AB=AD，∠GAE=∠DAB=90°，求出∠GAD=∠EAB，根據(jù)SAS證△GAD≌△EAB，推出∠AGD=∠AEB，根據(jù)∠GAE=90°求出∠AEB+∠EMH=90°，求出∠EHM=90°，根據(jù)垂直定義推出即可；
（2）連接BD交AC于O，則AC⊥BD，根據(jù)設(shè)BO=3x，則GO=4x根據(jù)GA=4x-3x=，求出x=求出GD=5，BD=6，根據(jù)△GAD≌△EAB得出BE=GD，代入求出即可．
點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形等知識點的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運用定理進行推理和計算的能力，題目比較好，但是有一定的難度．