Question

14．如圖，直線y=-$\frac{4}{3}$x+4與x軸，y軸，分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是y軸上一點(diǎn)，沿直線AC折疊AB剛好落在x軸上AB₁處．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求OC的長(zhǎng)；
（3）在x軸上存在點(diǎn)P，使三角形PCA為等腰三角形，直接寫(xiě)出P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）對(duì)于直線解析式，分別令x與y為0，求出y與x的值，即可確定出A與B的坐標(biāo)；
（2）在直角三角形AOB中，利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，由折疊的性質(zhì)得到∠BAC=∠B₁AC，利用角平分線性質(zhì)列出比例式，根據(jù)OB的長(zhǎng)求出OC的長(zhǎng)即可；
（3）在直角三角形AOC中，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，如圖所示，分三種情況考慮：當(dāng)AP=AC；當(dāng)AP′=AC；當(dāng)P″A=P″C，作AC的垂直平分線交OA于點(diǎn)P″，分別求出P的坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）對(duì)于直線y=-$\frac{4}{3}$x+4，
令x=0，得到y(tǒng)=4；令y=0，得到x=3，
則A（3，0），B（0，4）；
（2）在Rt△ABC中，OA=3，OB=4，
根據(jù)勾股定理得：AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
由折疊的性質(zhì)得：∠BAC=∠B₁AC，
∴OC：CB=AO：AB=3：5，
則OC=4×$\frac{3}{8}$=1.5；
（3）在Rt△OAC中，OA=3，OC=1.5，
根據(jù)勾股定理得：AC=$\sqrt{{3}^{2}+1．{5}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
如圖所示，要使△PAC為等腰三角形，分三種情況考慮：
當(dāng)AP=AC時(shí)，P坐標(biāo)為（3-$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，0）；
當(dāng)AP′=AC時(shí)，P′坐標(biāo)為（3+$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，0）；
當(dāng)P″A=P″C時(shí)，作AC的垂直平分線交OA于點(diǎn)P″，
設(shè)OP″=x，根據(jù)勾股定理得：x²+1.5²=（3-x）²，
解得：x=$\frac{9}{8}$，即P″（$\frac{9}{8}$，0），
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3-$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，0）或（3+$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，0）或（$\frac{9}{8}$，0）或（-3，0）．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，勾股定理，角平分線性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，利用了分類(lèi)討論的思想，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．