Question

如圖1，一輛汽車的背面，有一種特殊形狀的刮雨器，忽略刮雨器的寬度可抽象為一條折線OAB，如圖2所示，量得連桿OA長為10cm，雨刮桿AB長為48cm，∠OAB=120°．若啟動(dòng)一次刮雨器，雨刮桿AB正好掃到水平線CD的位置，如圖3所示．

   （1）求雨刮桿AB旋轉(zhuǎn)的最大角度及O、B兩點(diǎn)之間的距離；（結(jié)果精確到0.01）

   （2）求雨刮桿AB掃過的最大面積．（結(jié)果保留π的整數(shù)倍）

   （參考數(shù)據(jù)：sin60°=，cos60°=，tan60°=，≈26.851，可使用科學(xué)計(jì)算器）

Answer 1

【答案】解：（1）雨刮桿AB旋轉(zhuǎn)的最大角度為180° ．

連接OB，過O點(diǎn)作AB的垂線交BA的延長線于EH，

∵∠OAB=120°，

∴∠OAE=60°

在Rt△OAE中，

∵∠OAE=60°，OA=10，

∴sin∠OAE==，

∴OE=5，

∴AE=5.

∴EB=AE+AB=53，

在Rt△OEB中，

∵OE=5，EB=53，

∴OB===2≈53.70；

（2）∵雨刮桿AB旋轉(zhuǎn)180°得到CD，即△OCD與△OAB關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱，

∴△BAO≌△OCD，∴S_△BAO=S_△OCD，

∴雨刮桿AB掃過的最大面積S=π(OB²－OA²)

                           =1392π.

【考點(diǎn)解剖】  本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，以及扇形面積的求法，難點(diǎn)是考生缺乏生活經(jīng)驗(yàn)，弄不懂題意（提供的實(shí)物圖也不夠清晰，人為造成一定的理解困難）．

【解題思路】  將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，（1）AB旋轉(zhuǎn)的最大角度為180°；在△OAB中，已知兩邊及其夾角，可求出另外兩角和一邊，只不過它不是直角三角形，需要轉(zhuǎn)化為直角三角形來求解，由∠OAB=120°想到作AB邊上的高，得到一個(gè)含60°角的Rt△OAE和一個(gè)非特殊角的Rt△OEB.在Rt△OAE中，已知∠OAE=60°，斜邊OA=10，可求出OE、AE的長，進(jìn)而求得Rt△OEB中EB的長，再由勾股定理求出斜邊OB的長；（2）雨刮桿AB掃過的最大面積就是一個(gè)半圓環(huán)的面積（以OB、OA為半徑的半圓面積之差）.

【解答過程】  略.

【方法規(guī)律】  將斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形求解.在直角三角形中，已知兩邊或一邊一角都可求出其余的量.

【關(guān)鍵詞】   刮雨器   三角函數(shù)  解直角三角形   中心對(duì)稱  扇形的面積