Question

17．如圖，△OAB是等邊三角形，過點A的直線l：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+m與x軸交于點E（4，0）
（1）求m的值及△OAB的邊長；
（2）在線段AE上是否存在點P，使得△PAB的面積是△OAB面積的一半？若存在，試求出點P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；
（3）在直線AE上是否存在點M，使得MA=MB？若存在，請求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將E坐標(biāo)代入直線l解析式求出m的值，確定出直線l，根據(jù)三角形AOB為等邊三角形，且A在直線l上，設(shè)等邊三角形邊長為2a，表示出A坐標(biāo)，代入直線l方程求出a的值，即可確定出等邊三角形邊長；
（2）求出三角形AOB面積，由△PAB的面積是△OAB面積的一半，確定出三角形PAB面積，求出B到AE的距離BD，確定出AP長，由P在直線l上，設(shè)出P坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式求出p的值，確定出P坐標(biāo)即可；
（3）首先求得AB的解析式，然后求得經(jīng)過AB的中點且與AB垂直的直線的解析式，然后求得與AE的交點即可．

解答 解：（1）將E（4，0）代入直線l方程得：0=-4×$\frac{\sqrt{3}}{3}$+m，即m=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴直線l解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
過A作AC⊥OB，
∵△ABO為等邊三角形，
∴OC=BC=$\frac{1}{2}$OB，
設(shè)等邊△ABC邊長為2a，則有OC=a，AC=$\sqrt{O{A}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，即A（a，$\sqrt{3}$a），
代入直線l方程得：$\frac{\sqrt{3}}{3}$a=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$a+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
解得：a=1，即A（1，$\sqrt{3}$a），
則OAB邊長為2；
（2）過B作BD⊥AE，
∵直線l的斜率為-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即傾斜角為150°，AB=BE=2，
∴∠AEB=∠BAE=30°，
∴BD=1，
∵S_△PAB=$\frac{1}{2}$S_△OAB，S_△OAB=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}$AP•BD=$\frac{1}{2}$AP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即AP=$\sqrt{3}$，
設(shè)P坐標(biāo)為（p，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$p+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），
∴AP²=（1-p）²+（$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$p-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）²=3，
解得：p=$\frac{5}{2}$或p=-$\frac{1}{2}$（舍去），
則P的坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
（3）∵A的坐標(biāo)是（1，$\sqrt{3}$），△OAB是等邊三角形，
∴B的坐標(biāo)是（2，0）．
∴AB的中點的坐標(biāo)是（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
設(shè)AB的解析式是y=kx+b，
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=\sqrt{3}}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\sqrt{3}}\\{b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
則AB的解析式是y=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$．
設(shè)經(jīng)過AB的中點且與AB垂直的直線的解析式是y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+c，
則$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\frac{3}{2}$+c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得：c=0，
則解析式是y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．
代入y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$得$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
解得：x=2．
則y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
則M的坐標(biāo)是（2，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．

點評 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，兩點間的距離公式，兩直線平行時斜率滿足的關(guān)系，以及平移規(guī)律，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．