Question

如圖，⊙O為△ABC的外接圓，∠ACB=75°，∠BAC=45°，AC=

6

，點(diǎn)E為半徑為1的⊙C上一點(diǎn)，設(shè)△ABE的面積為S，則S的取值范圍是（　�。�

• A．1≤S≤2+

  3

• B．1≤S≤1+

  3

• C．

  3

  -1≤S≤

  3

  +1
• D．

  3

  +1≤S≤2+

  3

Answer 1

分析：過(guò)C點(diǎn)作CH⊥AB于H，交⊙C于E₁、E₂點(diǎn)，則E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E₁點(diǎn)時(shí)S最小，E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E₂點(diǎn)時(shí)S最大，易得△ACH為等腰直角三角形，則AH=CH=

3

，∠ACH=45°，
再由∠ACB=75°得∠BCH=30°，根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得BH=

3

3

CH=1，AB=

3

+1，則HE₁=

3

-1，=

3

+1，然后根據(jù)三角形面積公式得到
△ABE₁的面積=1，△ABE₂的面積=2+

3

，于是得到1≤S≤2+

3

．

解答：解：過(guò)C點(diǎn)作CH⊥AB于H，交⊙C于E₁、E₂點(diǎn)，則E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E₁點(diǎn)時(shí)S最小，E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E₂點(diǎn)時(shí)S最大，
∵∠BAC=45°，
∴△ACH為等腰直角三角形，
而AC=

6

，
∴AH=CH=

2

2

AC=

3

，∠ACH=45°，
∵∠ACB=75°，
∴∠BCH=30°，
在Rt△BCH中，BH=

3

3

CH=1，
∴AB=AH+BH=

3

+1，
∵HE₁=CH-CE₁=

3

-1，HE₂=CH+CE₂=

3

+1，
∴△ABE₁的面積=

1

2

×（

3

-1）×（

3

+1）=1，△ABE₂的面積=

1

2

×（

3

+1）×（

3

+1）=2+

3

，
∴1≤S≤2+

3

．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：熟練運(yùn)用圓的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行幾何計(jì)算；含30°的直角三角形和等腰直角三角形三邊的關(guān)系要記�。�