Question

如圖，⊙O是以AB為直徑的△ABC的外接圓，點(diǎn)D是劣弧的中點(diǎn)，連

結(jié)AD并延長(zhǎng)，與過(guò)C點(diǎn)的切線交于P，OD與BC相交于點(diǎn)E．（1）求證OE＝AC；

*（2）求證：＝；（3）當(dāng)AC＝6，AB＝10時(shí)，求切線PC的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）【略證】∵  AB為直徑，∴ ∠ACB＝90°，

即  AC⊥BC．∵  D為的中點(diǎn)，由垂徑定理，得

  OD⊥BC．∴  OD∥AC．又∵  點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，∴  點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)．∴  OE＝AC．

*（2）【略證】連結(jié)CD．∵  ∠PCD＝∠CAP，∠P是公共角，∴  △PCD∽△PAC．∴  ＝．

∴  ＝．又  PC是⊙O的切線，∴  PC²＝PD?DA．∴  ＝，

∴  ＝．∵  BD＝CD，∴  ＝．

（3）【略解】在Rt△ABC中，AC＝6，AB＝10，∴  BC＝＝8．∴  BE＝4．

∵  OE＝＝3，∴  ED＝2．則在Rt△BED中，BD＝＝2，

在Rt△ADB中，AD＝＝4．∵  ＝，∴  ＝．

解此方程，得  PD＝5，AP＝9．又  PC²＝DP?AP，∴  PC＝＝15．