Question

10．如圖1，P為△ABC內(nèi)一點，連接PA、PB、PC，在△PAB，△PBC和△PAC中，如果存在一個三角形與△ABC相似，那么就稱P為△ABC的自相似點．
（1）如圖2，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中線，過點B作BE⊥CD，垂足為E，試說明E是△ABC的自相似點．
（2）在△ABC中，如圖3，∠A＜∠B＜∠C，若△ABC的內(nèi)心P是該三解形的自相似點，求該三角形三個內(nèi)角的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件得出∠BEC=∠ACB，以及∠BCE=∠ABC，得出△BCE∽△ABC，即可得出結論；
（2）根據(jù)∠PBC=∠A，∠BCP=∠ABC=∠2∠PBC=2∠A，∠ACB=2∠BCP=4∠A，即可得出各內(nèi)角的度數(shù)．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB上的中線，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB，
∴CD=BD，
∴∠BCE=∠ABC，
∵BE⊥CD，∴∠BEC=90°，
∴∠BEC=∠ACB，
∴△BCE∽△ABC，
∴E是△ABC的自相似點；

（2）∵P是△ABC的內(nèi)心，∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠PCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∵△ABC的內(nèi)心P是該三角形的自相似點，
∴∠PBC=∠A，∠BCP=∠ABC=2∠PBC=2∠A，∠ACB=2∠BCP=4∠A，
∴∠A+2∠A+4∠A=180°，
∴∠A=$\frac{180°}{7}$，
∴該三角形三個內(nèi)角度數(shù)為：$\frac{180°}{7}$，$\frac{360°}{7}$，$\frac{720°}{7}$．

點評 此題主要考查了相似三角形的判定以及三角形的內(nèi)心作法和作一角等于已知角，此題綜合性較強，注意從已知分析獲取正確的信息是解決問題的關鍵．