Question

如圖6，正三角形ABC的邊長為a，D是BC的中點(diǎn)，P是AC邊上的點(diǎn)，連結(jié)PB和PD得到△PBD。求：

⑴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，△PBD的周長；

⑵△PBD的周長的最小值。

 

Answer 1

、⑴如圖1，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，BP⊥AC，DP∥AB，            （2分）

所以 ，，，                             （4分）

即△ABC的周長為BP＋DP＋BD=。                            （5分）

 

⑵如圖2，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E，連結(jié)EP、EB、ED、EC，則PB＋PD=PE＋PD，因此ED的長就是PB＋PD的最小值，即當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到ED與AC的交點(diǎn)G時(shí)，△PBD的周長最小。       （7分）

從點(diǎn)D作DF⊥BE，垂足為F，因?yàn)?i>BC=a，所以，。

因?yàn)椤螪BF=30°，所以，，

，。                             （9分）

所以△PBD的周長的最小值是。                                （10分）