Question

（2012•大連二模）如圖，△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=15cm，點D以2cm/s的速度由點B向點C運動，點E同時以1cm/s的速度由點C向點B運動．當點D運動到點C時，點D、E同時停止運動，以DE為邊在BC的上方作等邊三角形DEF．設點D的運動時間為t（s）．
（1）當t為何值時，點F恰好落在AB上？
（2）設△DEF與△ABC重合部分的面積為S（cm²），求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)題意求得 BD=2t，CE=t．然后分當點D在點E的右側(cè)時和當點D在點E的左側(cè)時兩種情況求得t值即可；
（2）根據(jù)題意分當0≤t≤3時和當3＜t≤

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2

，且t≠5時兩種情況列出有關(guān)S于t的函數(shù)關(guān)系式即可求解．

解答：解：（1）由題意得 BD=2t，CE=t．
①當點D在點E的右側(cè)時（如圖1），
∵△DEF是等邊三角形，
∴DE=DF，∠EDF=60°．
∴∠DFB=∠EDF-∠B=60°-30°=30°=∠B，
∴DF=DB=2t．…（2分）
∵BC=CE+ED+DB  即 t+2t+2t=15，
∴t=3．…（3分）
②當點D在點E的左側(cè)時（如圖2），
由①得，DE=EF=EB=CB-CE=15-t，BD=2t，
∴DB=2BE，即2t=2（15-t），
∴t=

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2

．
綜上，當t=3s或

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2

s時，點F恰好在AB上．…（5分）
（2）①當0≤t≤3時（如圖3），
由（1）得，DE=EF=FD=15-3t=3（5-t），DH=DB=2t，
∴FH=15-3t-2t=15-5t=5（3-t）．…（6分）
∵∠DEF=∠EFD=60°，∠B=30°，
∴∠EGB=180°-∠GEB-∠B=180°-60°-30°=90°．
在Rt△FGH中，
GH=FH•sin60°=

5 3

2

(3-t)，F(xiàn)G=FH•cos60°=

5

2

(3-t)．
∴S△FGH=

1

2

FG•GH=

25 3

8

(3-t)2．…（7分）
作FM⊥DE，垂足為M．則FM=EF•sin60°=

3 3

2

(5-t).S△FED=

1

2

ED•FM=

9 3

4

(5-t)2，…（8分）
∴S=S_△FED-S_△FGH=-

7 3

8

t2-

15 3

4

t+

225

8

3

．…（9分）
②由題意知，點D從點B運動到點C所用時間為

15

2

s．當t+2t=15，即t=5時，點D與點E重合．由（1）知，當3＜t≤

15

2

，且t≠5時，無論點D在點E的左側(cè)還是右側(cè)，△DEF都在△ABC內(nèi)（如圖4）.S=S△FED=

1

2

DE•FM=

9 3

4

(5-t)2=

9 3

4

t2-

45 3

2

t+

225

4

3

．
綜上，S=

- 7 3 8 t2- 15 3 4 t+ 225 8 3 (0≤t≤3) 9 3 4 t2- 45 3 2 t+ 225 4 3 (3＜t≤ 15 2 ，且t≠5).

點評：本題考查了相似形的綜合知識，解題的關(guān)鍵是從復雜的幾何圖形中整理出相似三角形的模型并利用相似三角形的知識解決問題．