Question

如圖，直線 y=kx-2（k＞0）與雙曲線y=

k

x

在第一象限內的交點為R，與x軸的交點為P，與y軸的交點為Q；作RM⊥x軸于點M，若△OPQ與△PRM的面積是4：1，求k．

Answer 1

分析：連接OR，由反比例系數(shù)k的意義得到三角形ORM的面積等于

1

2

k，再由三角形OPQ與三角形PRM面積之比為4：1，且兩三角形相似，得到相似比為2：1，令y=kx-2中y=0，求出x的值，確定出OP的長，令x=0求出y的值，確定出OQ的長，由相似比為2：1，求出RM的長，即為R的縱坐標，由OP=2PM，得到OP為OM的

2

3

，表示出OM，即為R的橫坐標，確定出R的坐標，將R坐標代入反比例解析式中得到關于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．

解答：解：設R（m，n），則mn=k；
連接OR，則△ORM的面積等于

k

2

，
∵△OPQ與△PRM的面積之比為4：1，且△OPQ∽△PRM，
∴OQ：RM=OP：PM=2：1，
令y=kx-2中x=0，解得y=-2，即OQ=2；令y=0，解得x=

2

k

，即OP=

2

k

，
∴RM=n=1，∴OM=

3

2

OP，即OM=m=

3

k

，
∴R（

3

k

，1），
∴mn=

3

k

×1=k，
解得：k=±

3

，
∵k＞0，
∴k=

3

．

點評：此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，相似三角形的判定與性質，坐標與圖形性質，以及反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，是一道綜合性較強的試題．