Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC⊥BC，AD=4cm，∠D=45°，BC=3cm．

（1）求cos∠B的值；
（2）點E為BC延長線上的動點，點F在線段CD上（點F與點C不重合），且滿足∠AFC=∠ADE，如圖，設(shè)BE=x，DF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；

（3）點E為射線BC上的動點，點F在射線CD上，仍然滿足∠AFC=∠ADE，當(dāng)△AFD的面積為2cm²時，求BE的長．

Answer 1

解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC．
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°．
∴∠DAC=90°．
∵∠D=45°，
∴∠ACD=45°．
∴AD=AC．
∵AD=4cm，
∴AC=4cm．
∵BC=3cm，
∴cm．
∴．

（2）∵AD∥BC，
∴∠ADF=∠DCE．
∵∠AFC=∠FDA+∠FAD，∠ADE=∠FDA+∠EDC，
又∠AFC=∠ADE，
∴∠FAD=∠EDC．
∴△ADF∽△DCE．
∴．
在Rt△ADC中，DC²=AD²+AC²，
∵AD=AC=4cm，
∴cm．
∵BE=x，
∴CE=x-3．
又∵DF=y，
∴．
∴．
定義域為3＜x＜11．

（3）當(dāng)點E在BC的延長線上，由（2）可得：△ADF∽△DCE，
∴
∵S_△AFD=2，AD=4，，
∴S_△DCE=4．
∵，
∴，
∴BE=5．
如圖2，當(dāng)點E在線段BC上，
由（2）△ADF∽△DCE，
∴
∵S_△AFD=2，AD=4，，
∴S_△DCE=4．
∴S_△DCE=．
∴BE=1．
所以BE的長為5或1．
分析：（1）要求cos∠B的值，由條件知道△ACB是直角三角形，然后 根據(jù)余弦定義就可以求出．
（2）要求函數(shù)的解析式，需要運用∠AFC=∠ADE 尋找相似三角形，利用線段比來代換y與x之間的關(guān)系，找三角形相似是關(guān)鍵．
（3）要求BE的長，點E存在兩種情況，再運用（2）的相似結(jié)論，根據(jù)相似三角形的面積比得關(guān)系就可以求出BE的長．
點評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理、梯形、等腰三角形的性質(zhì)及解直角三角形的多個知識點．