Question

3．如圖所示．在?ABCD中分別以BC、AB為邊畫等邊三角形BCF、ABE，連接DE、DF．求證：△DEF是等邊三角形．

Answer 1

分析 等邊三角形中，三條邊相等，三個角都是60°，則由60°角及平行四邊形對角相等的性質(zhì)可得∠DAE=∠DCF，即△DAE≌△FCD，得出DF=DE，同理可得出三條邊都相等，進而可得出結(jié)論．

解答 證明：∵△ABE和△BCF都是等邊三角形，
∴AE=AB=CD，CF=BC=AD，
∴∠BAE=∠BCF=60°，即∠DAE+∠BAD=∠DCF+∠BCD，
在平行四邊形ABCD中，則∠BAD=∠BCD，
∴∠DAE=∠DCF，
在△DAE與△FCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CF}\\{∠DAE=∠FCD}\\{AE=CD}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△FCD（SAS），
∴DF=DE，∠EAD=∠DCF，
設(shè)∠ABC=β，則∠BAD=180°-β，
∴∠EBF=360°-2×60°-β=240°-β，∠EAD=60°+（180°-β）=240°-β，
∴∠EBF=∠EAD
∵EA=EB，AD=BC=BF，
在△BEF與△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=BE}\\{∠EAD=∠EBF}\\{AD=BF}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△AED（SAS），
∴DE=EF，
∴DE=DF=EF，
即△DEF是等邊三角形．

點評 本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形的判定及性質(zhì)，能夠熟練掌握，并能夠進行一些簡單的證明、計算問題．