Question

如圖，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，點(diǎn)P為AB邊上一點(diǎn)，DP交AC于點(diǎn)Q．
（1）求證：△APQ∽△CDQ；
（2）當(dāng)PD⊥AC時(shí)，求線段PA的長(zhǎng)度．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),矩形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得出AB∥CD，從而得出∠PAQ=∠DCQ，∠QPA=∠QDC，利用兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似得出結(jié)論；
（2）由PD⊥AC，得∠ACD+∠PDC=90°，從而得出∠ACD=∠PDA，可證明△ADC∽△PAD，由相似比得出PA的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠PAQ=∠DCQ，∠QPA=∠QDC，
∴△APQ∽△CDQ．
（2）解：∵PD⊥AC，
∴∠ACD+∠PDC=90°，
∵∠PDA+∠PDC=90°，
∴∠ACD=∠PDA，
∵∠ADC+∠PAD=90°，
∴△ADC∽△PAD，
∴

AD

PA

=

DC

AD

，
∴

5

PA

=

10

5

，
∴PA=2.5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)，綜合性強(qiáng)，難度不大．