Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D是AC上一點，過點A、D兩點作⊙O．使圓心O在AB上，⊙O與AB交于點E，若BD為⊙O的切線，tan∠CBD=

3

4

，求tan∠ABD的值．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：計算題

分析：連結(jié)OD，如圖，在Rt△BCD中利用正切的定義得到tan∠CBD=

CD

BC

=

3

4

，則可設(shè)CD=3x，BC=4x，根據(jù)勾股定理得BD=5x，再根據(jù)切線的性質(zhì)得∠ODB=90°，接著證明Rt△CBD∽△CAB，利用相似比可表示出AC=

16

3

x，則在Rt△ACB中利用勾股定理可得到AB=

20

3

x，設(shè)⊙O的半徑為r，則OD=OA=r，OB=AB-OA=

20

3

x-r，然后在Rt△OBD中根據(jù)勾股定理得r²+（5x）²=（

20

3

x-r）²，解得r=

35

24

x，最后利用正切的定義求解．

解答：解：連結(jié)OD，如圖，
在Rt△BCD中，tan∠CBD=

CD

BC

=

3

4

，
設(shè)CD=3x，則BC=4x，
∴BD=

CD2+BC2

=5x，
∵BD為⊙O的切線，
∴OD⊥BD，
∴∠ODB=90°，
∴∠1+∠2=90°，
而∠1+∠CBD=90°，
∴∠2=∠CBD，
∵OA=OD，
∴∠A=∠2，
∴∠A=∠CBD，
∴Rt△CBD∽△CAB，
∴

BC

AC

=

CD

BC

，即

4x

AC

=

3x

4x

，解得AC=

16

3

x，
在Rt△ACB中，∵BC=4x，AC=

16

3

x，
∴AB=

BC2+AC2

=

20

3

x，
設(shè)⊙O的半徑為r，則OD=OA=r，OB=AB-OA=

20

3

x-r，
在Rt△OBD中，∵OD²+BD²=OB²，
∴r²+（5x）²=（

20

3

x-r）²，解得r=

35

24

x，
∴tan∠OBD=

OD

BD

=

35 24 x

5x

=

7

24

，
即tan∠ABD的值為

7

24

．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．也考查了解直角三角形．