Question

5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（-1，0）、（0，-6）點(diǎn)B在x軸上．已知某二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，且它的對(duì)稱軸為直線x=1，點(diǎn)P為直線BC下方的二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與B、C不重合），過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)F．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）求直線BC的解析式；
（3）若設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，
①用含m的代數(shù)式表示線段PF的長(zhǎng)．
②求△PBC面積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
③求△PCF為等腰三角形時(shí)m的值．

Answer 1

分析 （1）由對(duì)稱性可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得二次函數(shù)的解析式；
（2）由B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線BC的解析式；
（3）①用m可分別表示出P、F的坐標(biāo)，則可表示出PF的長(zhǎng)；②由S_△PBC=$\frac{1}{2}$PF•OB，可用m表示出△PBC的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值，及取得最大值時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)；③用m可分別表示出CF、PF的長(zhǎng)，分PC=PF、PC=CF和PF=CF三種情況，分別求m的值即可．

解答 解：
（1）∵A（-1，0）、B都在x軸上，
∴A、B關(guān)于對(duì)稱軸x=1對(duì)稱，
∴B（3，0），
設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
把A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=-6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-4}\\{c=-6}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=2x²-4x-6；
（2）∵C（0，-6），
∴可設(shè)直線BC解析式為y=kx-6，
把B點(diǎn)坐標(biāo)代入可得3k-6=0，解得k=2，
∴直線BC解析式為y=2x-6；
（3）①由題意可知P（m，2m²-4m-6），F(xiàn)（m，2m-6），
∵點(diǎn)P為直線BC下方的二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與B、C不重合），
∴PF=2m-6-（2m²-4m-6）=-2m²+6m；
②S_△PBC=$\frac{1}{2}$PF•OB=$\frac{1}{2}$×3（-2m²+6m）=-3（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{4}$，
∵-3＜0，
∴當(dāng)m=$\frac{3}{2}$時(shí)，S_△PBC有最大值，最大值為$\frac{27}{4}$，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{2}$）；
③∵P（m，2m²-4m-6），F(xiàn)（m，2m-6），C（0，-6），
∴PC=$\sqrt{{m}^{2}+（2{m}^{2}-4m-6+6）^{2}}$=$\sqrt{4{m}^{4}-16{m}^{3}+16{m}^{2}}$=2|m（m-2）|，
PF=-2m²+6m，F(xiàn)C=$\sqrt{{m}^{2}+（2m-6+6）^{2}}$=$\sqrt{5}$|m|，
∵△PCF為等腰三角形，
∴有PC=PF、PC=CF和PF=CF三種情況，
當(dāng)PC=PF時(shí)，則有2|m（m-2）|=-2m²+6m，解得m=0（與C點(diǎn)重合，舍去）或m=$\frac{5}{2}$，
當(dāng)PC=CF時(shí)，則有2|m（m-2）|=$\sqrt{5}$|m|，解得m=0（舍去）或m=2-$\frac{\sqrt{5}}{2}$或m=2+$\frac{\sqrt{5}}{2}$（大于3，舍去），
當(dāng)PF=CF時(shí)，則有-2m²+6m=$\sqrt{5}$|m|，解得m=0（舍去）或m=$\frac{6-\sqrt{5}}{2}$，
綜上可知當(dāng)△PCF為等腰三角形時(shí)m的值為$\frac{5}{2}$或2-$\frac{\sqrt{5}}{2}$或m=$\frac{6-\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、二次函數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、方程思想及分類討論思想等知識(shí)．在（1）中求得B點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（3）①②中用m表示出PF的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵，在（3）③中用m表示出PC、PF、CF的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度較大．