Question

9．如圖，拋物線y=ax²+bx-4與x軸交于A（-4，0）、B（2，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，且位于AB之間，過點(diǎn)P作PE∥AC，交BC于E，連接CP，設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為x，△PCE的面積為S，請(qǐng)求出S關(guān)于x的解析式，并求△PCE面積的最大值；
（3）點(diǎn)為D（-2，0），若點(diǎn)M是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在M點(diǎn)，能使△OMD是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式直接求出a、b即可；
（2）設(shè)出P點(diǎn)橫坐標(biāo)，由于PE∥AC，則△BPE和△BAC相似，根據(jù)面積比是相似比的平方得出△BPE的面積表達(dá)式，用△PCB的面積減去△BPE的面積就是S，再利用配方法求最值即可；
（3）分兩種情況討論：①DO=DM；②MD=MO．

解答 解：（1）把點(diǎn)A（-4，0），B（2，0）分別代入中，得：$\left\{\begin{array}{l}{16a-4b-4=0}\\{4a+2b-4=0}\end{array}\right.$，
∴a=$\frac{1}{2}$，b=1，
∴這個(gè)二次函數(shù)解析式為$y=\frac{1}{2}{x}^{2}+x-4$，C（0，-4）；
（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），則BP=2-x，S_△ABC=$\frac{1}{2}AB•OC=\frac{1}{2}×6×4=12$
∵PE∥AC，
∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA，
∴△BPE∽△BAC，
∴$\frac{{S}_{△BPE}}{{S}_{△BAC}}$=（$\frac{BP}{BA}$）²，即：$\frac{{S}_{△BPE}}{12}$=（$\frac{2-x}{6}$）²，
∴${S}_{△BPE}=\frac{1}{3}（2-x）^{2}$，
又∵${S}_{△BCP}=\frac{1}{2}（2-x）×4=2（2-x）$，
∴S_△PCE=S_△BCP-S_△BPE=2（2-x）-$\frac{1}{3}（2-x）^{2}$=$-\frac{1}{3}（x+1）^{2}+3$，
∴x=-1時(shí)，△PCE面積有最大值為3；
（3）存在M點(diǎn)．①如圖，過點(diǎn)D作DM垂直x軸交AC于M，

∵A（-4，0），C（-4，0），
∴DM=AD=2=DO，
∴M（-2，-2）；
②如圖，設(shè)DO的中垂線交AC于點(diǎn)M，則MD=MO，

由A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)可知AC的解析式為y=-x-4，
將x=-1代入可得y=-3，
∴M（-1，-3）．
綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，-3）或（-2，-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，配方法求二次函數(shù)最值，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，等腰三角形等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，難度中等．對(duì)于第三問，分類討論是解答的關(guān)鍵．