Question

如圖，⊙O、⊙B相交于點M、N，點B在⊙O上，NE為⊙B的直徑，點C在⊙B上，CM交⊙O于點A，連接AB并延長交NC于點D，求證：AD⊥NC．

Answer 1

證明：連接EC，
∵NE為圓B的直徑，
∴NC⊥CE，即∠NCE=90°，
∵四邊形ABNM為圓O的內接四邊形，
∴∠ABE=∠M，
∵∠ABE=∠NBD，
∴∠M=∠NBD，
∵∠M=∠E，
∴∠NBD=∠E，
∴EC∥BD，
∴∠BDN=∠NCE=90°，
則AD⊥NC．
分析：連接EC，由NE為圓B的直徑，得到NC垂直于EC，由ABNM為圓O的內接四邊形，利用圓內接四邊形的外角等于它的內對角得到一對角相等，再利用對頂角相等及同弧所對的圓周角相等，根據等量代換得到一對同位角相等，利用同位角相等兩直線平行得到EC與BD平行，即可得到AD垂直于NC．
點評：此題考查了圓周角定理，以及圓內接四邊形的性質，熟練掌握圓周角定理是解本題的關鍵．