Question

矩形ABCD中，AD=5，AB=3，將矩形ABCD沿某直線折疊，使點A的對應(yīng)點A′落在線段BC上，再打開得到折痕EF．

（1）當A′與B重合時（如圖1），EF=       ；當折痕EF過點D時（如圖2），求線段EF的長；

（2）觀察圖3和圖4，設(shè)BA′=，①當的取值范圍是       時，四邊形AEA′F是菱形；②在①的條件下，利用圖4證明四邊形AEA′F是菱形．

 

Answer 1

【答案】

（1）5， （2）①3≤≤5

【解析】

試題分析：解：(1)由折疊（軸對稱）性質(zhì)知A′D=AD=5，∠A=∠EA′D=90⁰。 在R t△ A′DC中，DC=AB=3，∴ �！郃′B=BC－A′C=5－4=1。設(shè)AE=，則BE=，在直角△A′BE中，，∴ 。在R t △AEF中，。,

（2）①有圖可知，當BA′=3時，四邊形AEA′F是正方形，也是特殊的菱形，當A′移到與C重合時，四邊形AEA′F還是菱形，在這個過程中四邊形都是菱形，所以3≤≤5。②可以通過證明四邊相等的平行四邊形是菱形。證明：由折疊（軸對稱）性質(zhì)知∠AEF=∠FEA′，AE=A′E，AF=A′F。又 ∵AD∥BC，∴∠AFE="∠FEA′" �！唷螦EF="∠AFE" 。∴AE=AF�！郃E=A′E=AF=A′F。∴四邊形AEA′F是菱形。

考點：勾股定理和菱形的證明

點評：該題考查勾股定理的運用和菱形的證明方法，學生對四邊形的判定避免混淆和不會應(yīng)用。