Question

11．如圖，已知拋物線y=-x²+bx+c，與x軸交于點(diǎn)A、B，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），D為拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式及D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）P為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為N，PN交線段BC于M，連接PC、PB，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，△PBC的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，連接OM，當(dāng)t為何值時(shí)，△OMN與△CDB相似．

Answer 1

分析 （1）代入點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)C（0，3）求得函數(shù)解析式即可；進(jìn)一步利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求得答案即可；
（2）設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，縱坐標(biāo)為-t²+2t+3，利用三角形PBN的面積加上梯形CONP的面積減去三角形OBC的面積表示出三角形PBC的面積即可；
（3）利用勾股定理分別求得DC、DB、BC的長，利用勾股定理逆定理判定三角形BCD是直角三角形，求得BC解析式，設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用三角形相似的性質(zhì)分兩種直角邊對應(yīng)求得答案即可．

解答 解：（1）把A（-1，0），C（0，3）代入y=-x²+bx+c，
解得b=2，c=3，
拋物線的解析式為y=-x²+2x+3；
-$\frac{2}{2×（-1）}$=1，$\frac{4×（-1）×3-{2}^{2}}{-4}$=4，
頂點(diǎn)D為（1，4）；
（2）如圖，

由題意可知點(diǎn)P（t，-t²+2t+3）
S=$\frac{1}{2}$（3-t）（-t²+2t+3）+$\frac{1}{2}$t（3-t²+2t+3）-$\frac{1}{2}$×3×3
=-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{9}{2}$t；
（3）如圖，

由題意可知：BC=3$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{2}$，BD=2$\sqrt{5}$，
∵BC²+CD²=BD²，
∴△BCD是直角三角形，∠BCD=90°，
∵B（3，0），C（0，3），
∴直線BC=-x+3，
設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，-t+3），
∵△OMN∽△CDB，
∴$\frac{ON}{CD}$=$\frac{MN}{BC}$或$\frac{MN}{CD}$=$\frac{ON}{BC}$，
即$\frac{t}{\sqrt{2}}$=$\frac{-t+3}{3\sqrt{2}}$或$\frac{-t+3}{\sqrt{2}}$=$\frac{t}{3\sqrt{2}}$
解得$t=\frac{3}{4}$或$t=\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評 此題考查二次函數(shù)綜合題，綜合考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理，勾股定理逆定理的運(yùn)用，相似的性質(zhì)，以及滲透分類討論思想．