Question

6．如圖，拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)為C（1，4），交x軸于點(diǎn)A（3，0），B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)D．
（1）求點(diǎn)B、點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）判斷△ACD的形狀，并求出△ACD的面積；
（3）請(qǐng)?zhí)骄繏佄锞�上是否存在除點(diǎn)C以外的點(diǎn)E，使得△ADE與△ACD的面積相等？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由頂點(diǎn)坐標(biāo)和A點(diǎn)坐標(biāo)，可求得拋物線的解析式，容易求出B、D的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用勾股定理可求得AD、AC、CD的長(zhǎng)，可判斷△ACD的形狀；
（3）先利用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AD，求出直線CE的解析式，聯(lián)立直線CE與拋物線的解析式即可得出E點(diǎn)坐標(biāo)，在直線CD上截取CD=DF，求出F點(diǎn)的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)F作FG∥AD，利用待定系數(shù)法求出直線FG的解析式，聯(lián)立此直線與拋物線的解析式即可得出E點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），
∴可設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）²+4，
∵與x軸交于點(diǎn)A（3，0），
∴0=4a+4，解得a=-1，
∴拋物線解析式為y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3，
令y=0，可得-x²+2x+3=0，解得x=-1或x=3，令x=0，可得y=3
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）；

（2）∵A（3，0），D（0，3），C（1，4），
∴AD=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{{（1-0）}^{2}+{（4-3）}^{2}}$=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{（1-3）^{2}+（4-0）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴AD²+CD²=（3$\sqrt{2}$）²+（$\sqrt{2}$）²=20=（2$\sqrt{5}$）²=AC²，
∴△ACD是以AC為斜邊的直角三角形，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$AD•CD=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=3；

（3）設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵A（3，0），D（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}3k+b=0\\ b=3\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=-1\\ b=3\end{array}\right.$，
∴直線AD的解析式為y=-x+3．
過(guò)點(diǎn)C作CE∥AD，則直線CE的解析式為y=-x+c（a≠0），
∵C（1，4），
∴-1+c=4，解得c=5，
∴直線CE的解析式為y=-x+5，
∴$\left\{\begin{array}{l}y=-x+5\\ y=-{x}^{2}+2x+3\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=3\end{array}\right.$，
∴E₁（2，3）；
設(shè)直線CD的解析式為y=mx+n（m≠0），
∵C（1，4），D（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}4=m+n\\ 3=n\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}m=1\\ n=3\end{array}\right.$，
∴直線CD的解析式為y=x+3．
∵CD=$\sqrt{（1-0）^{2}+（4-3）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴DF=$\sqrt{2}$．
設(shè)F（x，x+3）且x＜0，則DF=$\sqrt{{x}^{2}+{x}^{2}}$=$\sqrt{2}$，解得x=-1，
∴F（-1，2）．
令直線FG的解析式為y=-x+d，則1+d=2，解得d=1，
∴直線FG的解析式為y=-x+1，
∴$\left\{\begin{array}{l}y=-x+1\\ y=-{x}^{2}+2x+3\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3+\sqrt{17}}{2}\\ y=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3-\sqrt{17}}{2}\\ y=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}\end{array}\right.$，
∴E₂（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$），E₃（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$）．
綜上所示，E₁（2，3），E₂（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$），E₃（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是圓的綜合題，涉及到待定系數(shù)法及勾股定理的逆定理，根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)寫(xiě)出其頂點(diǎn)式求得拋物線的解析式是解題的關(guān)鍵．