Question

19．如圖，在矩形ABCD中的AB邊長為6，BC邊長為9，E為BC上一點，且CE=2BE，將△ABE翻折得到△AFE，延長EF交AD邊于點M，則線段DM的長度為$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 過M作MN⊥BC于N，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到MN=CD=AB=6，設(shè)DM=x，于是得到CN=DM=x，AM=9-x，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AF=AB=MN，∠AFE=∠B=∠AFM=∠MNE=90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF=EM=9-x，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．

解答 解：過M作MN⊥BC于N，
則四邊形CDMN是矩形，
∴MN=CD=AB=6，
設(shè)DM=x，
∴CN=DM=x，AM=9-x，
∵CE=2BE，
∴BE=3，CE=6，
∴EN=6-x，
∵將△ABE翻折得到△AFE，
∴AF=AB=MN，∠AFE=∠B=∠AFM=∠MNE=90°，
∵∠AMF+∠EMN=∠EMN+∠MEN=90°，
∴∠AMF=∠MEN，
在△AMF與△MNE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AFM=∠MNE}\\{∠AMF=∠MEN}\\{AF=MN}\end{array}\right.$，
∴△AMF≌△MNE，
∴AM=EM=9-x，
∵EM²=EN²+MN²，
∴（9-x）²=（6-x）²+6²，
∴x=$\frac{3}{2}$，
∴DM=$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了翻折的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．