Question

直線y=x+b與x軸交于點(diǎn)C（4，0），與y軸交于點(diǎn)B，并與雙曲線（x＜0）交于點(diǎn)A（-1，n）．
（1）求直線與雙曲線的解析式．
（2）連接OA，求∠OAB的正弦值．
（3）若點(diǎn)D在x軸的正半軸上，是否存在以點(diǎn)D、C、B構(gòu)成的三角形與△OAB相似？若存在求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵直線y=x+b與x軸交于點(diǎn)C（4，0），
∴把點(diǎn)C（4，0）代入y=x+b得：b=-4，
∴直線的解析式是：y=x-4；
∵直線也過A點(diǎn)，
∴把A點(diǎn)代入y=x-4得到：n=-5
∴A（-1，-5），
把將A點(diǎn)代入（x＜0）得：m=5，
∴雙曲線的解析式是：y=；

（2）過點(diǎn)O作OM⊥AC于點(diǎn)M，
∵B點(diǎn)經(jīng)過y軸，
∴x=0，
∴0-4=y，
∴y=4，
∴B（0，-4），
AO==，
∵OC=OB=4，
∴△OCB是等腰三角形，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴在△OMB中 sin45°==，
∴OM=2，
∴在△AOM中，
sin∠OAB==；

（3）存在；
過點(diǎn)A作AN⊥y軸，垂足為點(diǎn)N，
則AN=1，BN=1，
則AB==，
∵OB=OC=4，
∴BC==4，
∠OBC=∠OCB=45°，
∴∠OBA=∠BCD=135°，
∴△OBA∽△BCD或△OBA∽△DCB，
∴=或=，
∴=或=，
∴CD=2或CD=16，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（6，0）或（20，0）．
分析：（1）把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入y=x+b，求出b的值，得出直線的解析式；把點(diǎn)A（-1，n）代入y=x-4得到n的值，求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，再把將A點(diǎn)代入（x＜0）中，求出m的值，從而得出雙曲線的解析式；
（2）先過點(diǎn)O作OM⊥AC于點(diǎn)M，根據(jù)B點(diǎn)經(jīng)過y軸，求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求出AO的值，根據(jù)OC=OB=4，得出△OCB是等腰三角形，求出∠OBC=∠OCB的度數(shù)，再在△OMB中，根據(jù)正弦定理求出OM的值，從而得出∠OAB的正弦值．
（3）先過點(diǎn)A作AN⊥y軸，垂足為點(diǎn)N，根據(jù)AN=1，BN=1，求出AB的值，根據(jù)OB=OC=4，求出BC的值，再根據(jù)∠OBC=∠OCB=45°，得出∠OBA=∠BCD，從而得出△OBA∽△BCD或△OBA∽△DCB，最后根據(jù)=或=，再代入求出CD的長，即可得出答案．
點(diǎn)評：此題考查了反比例函數(shù)的綜合，用到的知識點(diǎn)是勾股定理、相似三角形的判斷與性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，求出線段的長度．