Question

10．如圖所示，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，∠EAF繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB，CD（或它們的延長線）于點(diǎn)E，F(xiàn)．當(dāng)∠EAF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BE=DF時（如圖（1）所示），易證BE+DF=EF．
（1）當(dāng)∠EAF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BE≠DF時（如圖（2）所示），線段BE，DF和EF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并加以說明．
（2）當(dāng)∠EAF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖（3）所示的位置時，線段BE，DF和EF之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想．

Answer 1

分析 （1）延長CD到M，使DM=BE，得到∠MAF=90°-∠FAE=90°-45°=45°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到MF=EF，等量代換得到結(jié)論；
（2）如圖（3）在線段DF上截取DN=BE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠DAN=∠BAE，AN=AE，推出△AEF≌△ANF（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）BE+DF=EF成立．
證明：如圖（2），延長CD到M，使DM=BE，
∴∠MAF=90°-∠FAE=90°-45°=45°，
又∵∠FAE=45°，
∴在△AEF與△AMF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AM}\\{∠EAF=∠MAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AMF（SAS），
∴MF=EF，
∵M(jìn)F=DF+DM=BE+DF，
∴BE+DF=EF；

（2）DF-BE=EF．
如圖（3）在線段DF上截取DN=BE，
在△ADN與△ABE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠ADN=∠ABE}\\{DN=BE}\end{array}\right.$，
∴△ADN≌△ABE（SAS），
∴∠DAN=∠BAE，AN=AE，
∴∠NAF=∠EAF．
在△AEF和△ANF中，$\left\{\begin{array}{l}{AN=AE}\\{∠NAD=∠EAB}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△ANF（SAS），
∴EF=NF，
∴DF-BE=EF．

點(diǎn)評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解決此類問題的關(guān)鍵是正確的利用旋轉(zhuǎn)不變量．