Question

已知：如圖，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，對(duì)角線BD=4，tan∠CBD=

1

2

．求：
（1）邊AB的長；
（2）∠ABE的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì),解直角三角形

專題：

分析：（1）首先連接AC，AC與BD相交于點(diǎn)O，由四邊形ABCD是菱形，可得AC⊥BD，BO=

1

2

BD=2，又由tan∠CBD=

1

2

，可求得OC的長，然后由勾股定理求得邊AB的長；
（2）由AE⊥BC，利用S_菱形ABCD=BC•AE=

1

2

BD•AC，即可求得AE的長，繼而求得∠ABE的正弦值．

解答：解：（1）連接AC，AC與BD相交于點(diǎn)O，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO=

1

2

BD=2，
∵Rt△BOC中，tan∠CBD=

OC

OB

=

1

2

，
∴OC=1，
∴AB=BC=

BO2+OC2

=

5

；

（2）∵AE⊥BC，
∴S_菱形ABCD=BC•AE=

1

2

BD•AC，
∵AC=2OC=2，
∴

5

AE=

1

2

×2×4，
∴AE=

4 5

5

，
∴sin∠ABE=

AE

AB

=

4

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．