Question

如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠C，AB=20cm．BC=15cm，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，如果點(diǎn)P在線段BC上以5cm/秒的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q在線段CD上由點(diǎn)C向點(diǎn)D運(yùn)動．
（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPE與△CQP是否全等，請說明理由；
（2）若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為多少時，能夠使△BPE與△CQP全等？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)E是中點(diǎn)求出BE的長度，再求出BP、PC、CQ的長度，然后利用“邊角邊”證明△BPE與△CQP全等；
（2）根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等分兩種情況討論求解即可．

解答：解：（1）△BPE與△CQP全等．
理由如下：∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，AB=20cm，
∴BE=

1

2

AB=

1

2

×20=10cm，
∵點(diǎn)P、Q的速度都是5cm/秒，
∴經(jīng)過1秒后，BP=5cm，PC=BC-BP=15-5=10cm，CQ=5cm，
∴BE=PC，BP=CQ，
在△BPE與△CQP中，

BE=PC ∠B=∠C BP=CQ

，
∴△BPE≌△CQP（SAS）；

（2）∵△BPE與△CQP全等，
∴CQ=BE=10，則PC=BP=7.5，點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為10÷（7.5÷5）=

20

3

cm/秒；
或CP=BE=10，即BP=5，CQ=5，點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為5÷（5÷5）=5cm/秒；
∵點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度不相等，
∴x=5舍去，
∴點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為

20

3

cm/秒時，△BPE與△CQP全等．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，動點(diǎn)問題的求解，熟練掌握全等三角形對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵，（2）注意要分情況討論．