Question

已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點（1，2）。
（1）若a=1，拋物線頂點為A，它與x軸交于兩點B、C，且△ABC為等邊三角形，求b的值。
（2）若abc=4，且a≥b≥c，求|a|+|b|+|c|的最小值。

Answer 1

解：⑴由題意，a+b+c=2，
∵a=1，∴b+c=1，
物線頂點為A，
設(shè)B（x₁，0），C（x₂，0），
∵x₁+x₂=-b，x₁x₂=c，△=b²-4c＞0，
∴|BC|=|x₁-x₂|=，
∵△ABC為等邊三角形，
∴，
即，
∵b²-4c＞0，
∴，
∵c=1-b，
∴b²+4b-16=0，b=-2±2，
所求b值為-2±2；
⑵∵a≥b≥c，若a＜0，則b＜0，c＜0，a+b+c＜0，與a+b+c=2矛盾，
∴a＞0，
∵b+c=2-a，bc=，
∴b、c是一元二次方程x²-（2-a）x+=0的兩實根，
∴△=（2-a）²-4×≥0，
∴a³-4a²+4a-16≥0，即（a²+4）（a-4）≥0，故a≥4，
∵abc＞0，
∴a、b、c為全大于0或一正二負(fù)，
①若a、b、c均大于0，∵a≥4，與a+b+c=2矛盾；
②若a、b、c為一正二負(fù)，則a＞0，b＜0，c＜0，則|a|+|b|+|c|=a-b-c=a-（2-a）=2a-2，
∵a≥4，故2a-2≥6，
當(dāng)a=4，b=c=-1時，滿足題設(shè)條件且使不等式等號成立，故|a|+|b|+|c|的最小值為6。