Question

已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC是直徑，BD、AC交于點(diǎn)E，AD=DC．
（1）求證：△ABE∽△DBC；
（2）已知BE•BD=48，
①若tan∠ADB=

4

3

，求⊙O直徑；　
②若AD=4

6

，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理

專(zhuān)題：

分析：（1）證明∠ABE=∠DBC，∠BAE=∠BDC，即可解決問(wèn)題．
（2）①證明tan∠ACB=tan∠ADB=

AB

BC

=

4

3

；證明△ABE∽△DBC，列出比例式

AB

BD

=

BE

BC

，化簡(jiǎn)求值即可解決問(wèn)題；
②證明△ADE∽△BDA，得到AD²=BD•DE；結(jié)合BE•BD=48，問(wèn)題即可解決．

解答：解：（1）∵AD=DC，
∴

AD

=

DC

，
∴∠ABE=∠DBC，而∠BAE=∠BDC，
∴△ABE∽△DBC．
（2）①∵AC為⊙O的直徑，
∴∠ABC=90°；
∵∠ADB=∠ACB，
∴tan∠ACB=tan∠ADB=

AB

BC

=

4

3

，
設(shè)AB=4λ，則BC=3λ；
由勾股定理得AC=5λ；
∵△ABE∽△DBC，
∴

AB

BD

=

BE

BC

，
∴AB•BC=BD•BE=48，
即3λ•4λ=48，
∴λ=2，⊙O的直徑=5λ=10．
②∵AD=DC，
∴∠DAE=∠ACD；
又∵∠ABD=∠ACD，
∴∠ABD=∠DAE；
又∵∠ADE=∠BDA，
∴△ADE∽△BDA，
∴

AD

BD

=

DE

AD

，
即AD²=BD•DE，而AD=4

6

，
∴DE•BD=96，而B(niǎo)E•BD=48，
∴（DE+BE）BD=144，即BD²=144，
∴BD=12．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了圓周角定理、相似三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用有關(guān)定理來(lái)分析、判斷；對(duì)綜合的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力提出了較高的要求．