Question

【題目】△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，點(diǎn)P為射線BD，CE的交點(diǎn)．

(1) ①如圖1，∠ADE＝∠ABC＝45°，求證：∠ABD＝∠ACE．

②如圖2，∠ADE＝∠ABC＝30°，①中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說明理由．

(2)在(1) ①的條件下，AB＝6，AD＝4，若把△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)∠EAC＝90°時(shí)，畫圖并求PB的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）見詳解

（2）結(jié)論仍成立,理由見詳解

（3）PB=或.

【解析】

（1）①依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AB=AC，AD=AE，依據(jù)同角的余角相等得到∠DAB=∠CAE，然后依據(jù)SAS可證明△ADB≌△AEC，最后，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到∠ABD=∠ACE；

②先判斷出△ADB∽△AEC，即可得出結(jié)論；

(2)分為點(diǎn)E在AB上和點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上兩種情況畫出圖形，然后再證明△PEB∽△AEC，最后依據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明即可．

解：(1)①∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，

又∵∠ADE＝∠ABC＝45°，∴AD＝AE，AB＝AC，

∴△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE；

②∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，

∵∠ADE＝∠ABC＝30°，∴,,

∴,

∴△BAD∽△CAE，

∴∠ABD＝∠ACE．

(2)作草圖如圖所示，分為兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，

∵∠BAC＝∠DAE，

又∵∠ADE＝∠ABC＝45°，∴AD＝AE，AB＝AC，

∴△BAD≌△CAE，

∴∠ABD＝∠ACE；

∴△AEC∽△BPE，∴，

∵AB＝6，AD＝4，

∴EB＝2，，

∴，解得．

②當(dāng)點(diǎn)E在AB延長(zhǎng)線上時(shí)，

∵∠BAC＝∠DAE，又∵∠ADE＝∠ABC＝45°，

∴AD＝AE，AB＝AC，

∴△BAD≌△CAE，

∴∠ABD＝∠ACE；

∴△ABD∽△DPC，

∴，

∵AB＝6，AD＝4，

∴DC＝2，，

∴，解得．

∴．

綜上，或．