Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（0，4），B（1，0），C（5，0），拋物線對(duì)稱軸l與x軸相交于點(diǎn)M。
（1）求拋物線的解析式和對(duì)稱軸；
（2）設(shè)點(diǎn)P為拋物線（x＞5）上的一點(diǎn)，若以A、O、M、P為頂點(diǎn)的四邊形四條邊的長度為四個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，請(qǐng)你直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）連接AC，探索：在直線AC下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使△NAC的面積最大？若存在，請(qǐng)你求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)你說明理由。

Answer 1

解：（1）根據(jù)已知條件可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣1）（x﹣5）， 把點(diǎn)A（0，4）代入上式得：a=， ∴y=（x﹣1）（x﹣5）=x2﹣x+4=， ∴拋物線的對(duì)稱軸是：x=3；
（2）由已知，可求得P（6，4）， 由題意可知以A、O、M、P為頂點(diǎn)的四邊形有兩條邊AO=4、OM=3， 又∵點(diǎn)P的坐標(biāo)中x＞5， ∴MP＞2，AP＞2； ∴以1、2、3、4為邊或以2、3、4、5為邊都不符合題意， ∴四條邊的長只能是3、4、5、6的一種情況， 在Rt△AOM中，AM==5， ∵拋物線對(duì)稱軸過點(diǎn)M， ∴在拋物線x＞5的圖象上有關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)與M的距離為5， 即PM=5，此時(shí)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為6，即AP=6； 故以A、O、M、P為頂點(diǎn)的四邊形的四條邊長度分別是四個(gè)連續(xù)的正整數(shù)3、4、5、6成立，即P（6，4）；
（3）在直線AC的下方的拋物線上存在點(diǎn)N，使△NAC面積最大， 設(shè)N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，此時(shí)點(diǎn)N（t，）（0＜t＜5）， 過點(diǎn)N作NG∥y軸交AC于G； 由點(diǎn)A（0，4）和點(diǎn)C（5，0）可求出直線AC的解析式為：y=﹣x+4； 把x=t代入得：y=﹣x+4，則G（t，﹣t+4）， 此時(shí)：NG=﹣， ∴， ∴當(dāng)t=時(shí)，△CAN面積的最大值為， 由t=，得：， ∴N（，﹣3）。