Question

如圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1,0）、B（3,0）、C（0，），連接AC、BC，將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A落在x軸上，得到△DCE，此時(shí)，DE所在直線與拋物線交于第一象限的點(diǎn)F.

（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.
（2）求點(diǎn)A所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng).
（3）拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P使△PDF是等腰三角形.
若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）   （2） （3）P（1,2），（1，-2），（1,2）或（1，

解析試題分析：（1）拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1,0）、B（3,0）、C（0，），那么
，解得，所以拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為
（2）將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A落在x軸上，得到△DCE，則D的坐標(biāo)（1，0）。所以AD=1+1=2，點(diǎn)A（-1,0）、C（0，），在，是直角，AO=1，CO=，由勾股定理得，同理CD=2，所以三角形ACD是等邊三角形，；點(diǎn)A所經(jīng)過(guò)的路線是一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)，圓心角為，半徑為AC=2所以扇形的弧長(zhǎng)=
（3）拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P使△PDF是等腰三角形，拋物線的對(duì)稱軸；設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，a），F(xiàn)的坐標(biāo)為（x,y），則P、D都在拋物線的對(duì)稱軸上; 假設(shè)△PDF是等腰三角形，F(xiàn)D是腰，則PD=FD，由（1）知D的坐標(biāo)（1，0），所以PD=，F(xiàn)D= ,則=，而點(diǎn)F在拋物線上，所以F的坐標(biāo)滿足的解析式，解得；當(dāng)△PDF是等腰三角形，F(xiàn)D是底邊，那么PF、PD是腰，所以PF=PD，則PD=，F(xiàn)的坐標(biāo)為（x,y），F(xiàn)的坐標(biāo)滿足的解析式；PF=，則=，解得a=2或a=,所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為P（1,2），（1，-2），（1,2）或（1，
考點(diǎn)：拋物線，等腰三角形
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線，等腰三角形，要求考生會(huì)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，掌握拋物線的性質(zhì)，熟悉等腰三角形的性質(zhì)