Question

13．在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB邊上一點，以BD為直徑的⊙O與邊AC有公共點E，連結DE并延長，與BC的延長線交于點F，BD=BF．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若BF=8，AD=4，求CF的長．

Answer 1

分析 （1）連接OE，求出∠ODE=∠F=∠DEO，推出OE∥BC，得出OE⊥AC，根據切線的判定推出即可；
（2）設CF=x，證△AEO∽△ACB，得出關于x的方程，求出x即可．

解答 （1）證明：連接BE，OE，
∵BD是直徑，
∴BE⊥DF，
∵BD=BF，
∴DE=EF，
∴OE∥BF，
∵∠ACB=90°，
∵OE⊥AC，
∴AC是⊙O的切線；
（2）解：∵OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴$\frac{AO}{AB}=\frac{OE}{BC}$，
設CF=x，則BC=8-x，則$\frac{8}{12}=\frac{4}{8-x}$，
解得x=2，
即CF=2．

點評 本題考查了等腰三角形的性質，切線的判定，平行線的性質和判定，相似三角形的性質和判定的應用，主要考查學生的推理和計算能力，用了方程思想．