Question

14．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=108°，∠B的平分線交AC于點D，求證：DC+AB=BC．

Answer 1

分析 在BC上截取，BE=BA，連接DE，首先證明△ABD≌△EBD，從而求得∠DEC=72°，然后再證明△CED為等腰三角形，從而得可證得DC+AB=BC．

解答 解：如圖所示，在BC上截取，BE=BA，連接DE．

∵AC平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DAE．
在△ABD和△EBD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BE}\\{∠ABD=∠DAE}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△EBD．
∴∠BED=∠A=108°．
∴∠DEC=180°-108°=72°．
∵AB=AC，
∴∠C=$\frac{1}{2}×（180°-∠A）$=36°，
由三角形的內(nèi)角和定理可知：∠EDC=180°-36°-72°=72°．
∴∠EDC=∠DEC=72°．
∴DC=EC．
∴DC+AB=BC．

點評 本題主要考查的是全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)和判定，掌握此類問題輔助線的作法是解題的關(guān)鍵．