Question

如圖，一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=

m

x

的圖象交于A（2，3），B（-3，n）兩點(diǎn)．
（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；
（2）過點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為C，求S_△ABC；
（3）連接OA，在x軸上找一點(diǎn)P，使△AOP為等腰三角形，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式可得出m的值，繼而得出反比例函數(shù)解析式，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式可得出n的值，將點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)代入依次函數(shù)關(guān)系式可得出一次函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)一次函數(shù)關(guān)系式可求出OD，繼而得出CD，根據(jù)S_△ABC=S_△BCD+S_△ACD即可得出答案．
（3）分情況討論，①OA=OP，②OA=AP，③OP=AP，依次求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）將點(diǎn)A（2，3）代入反比例函數(shù)關(guān)系式可得：3=

m

2

，
解得：m=6，
故可得反比例函數(shù)關(guān)系式為：y=

6

x

，
將點(diǎn)B（-3，n）代入反比例函數(shù)關(guān)系式可得：n=

6

-3

=-2，
故點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，-2），
將點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)關(guān)系式可得：

2k+b=3 -3k+b=-2

，
解得：

k=1 b=1

，
故一次函數(shù)解析式為：y=x+1．
（2）

由一次函數(shù)解析式為y=x+1，可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，0），
則OD=1，CD=OC-OD=2，
則S_△ABC=S_△BCD+S_△ACD=

1

2

CD×|B_縱|+

1

2

CD×|A_縱|=2+3=5．
（3）

①若OA=OP，
此時點(diǎn)P位于P₁或P₂，則可得P₁（

13

，0），P₂（-

13

，0）；
②若OA=AP，
此時點(diǎn)P位于P₃，則可得P₃（4，0）；
③若OP=AP，作OA的中垂線，交x軸與P₄，則此時點(diǎn)P位于P₄，
此時OE=

1

2

OA=

13

2

，
根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)可得：cos∠AOP₄=

A橫

OA

=

2 13

13

，
則

OE

OP4

=

2 13

13

，
解得：OP₄=

13

4

，
則點(diǎn)P4的坐標(biāo)為（

13

4

，0）．
綜上可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為P₁（

13

，0）或P₂（-

13

，0）或P₃（4，0）或（

13

4

，0）．

點(diǎn)評：本題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角形的面積及等腰三角形的知識，難點(diǎn)在第三問，要討論哪兩條邊相等，易漏解．