Question

（2012•蕭山區(qū)一模）已知點(diǎn)A（1，0）、B（0，-1）、C（-1，2）、D（2，-1）、E（4，2），且拋物線y=a（x-1）²+k（a＞0）經(jīng)過其中三點(diǎn)．
（l）求證：C、E兩點(diǎn)不可能同時(shí)在拋物線y=a（x-1）²+k（a＞0）上；
（2）試問點(diǎn)A在拋物線y=a（x-1）²+k（a＞0）上嗎？說(shuō)明理由；
（3）直接寫出拋物線可能經(jīng)過的三點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）由拋物線的解析式y(tǒng)=a（x-1）²+k可知，拋物線的對(duì)稱軸為x=1，而C（-1，2），E（4，2）兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，如果它們同時(shí)在拋物線y=a（x-1）²+k（a＞0）上，那么應(yīng)該關(guān)于直線x=1對(duì)稱，但C（-1，2）與對(duì)稱軸相距2個(gè)單位，E（4，2）與對(duì)稱軸相距3個(gè)單位，故不可能同時(shí)在拋物線y=a（x-1）²+k（a＞0）上；
（2）假設(shè)A點(diǎn)在拋物線上，先將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=a（x-1）²+k，得出k=0，再根據(jù)拋物線經(jīng)過5個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn)，將B、C、D、E的坐標(biāo)分別代入，求出對(duì)應(yīng)的a值，得出矛盾，從而排除A點(diǎn)在拋物線上；
（3）由（2）知點(diǎn)A不在拋物線上，由（1）知C、E兩點(diǎn)不可能同時(shí)在拋物線上，又因?yàn)锽、D兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸x=1對(duì)稱，所以一定在拋物線上，那么另外一點(diǎn)可能是C點(diǎn)或E點(diǎn)，可以分別將C、D或D、E兩點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a和k的值即可判斷．

解答：解：（1）∵拋物線y=a（x-1）²+k的對(duì)稱軸為x=1，
而C（-1，2），E（4，2）兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，
由拋物線的對(duì)稱性可知，C、E關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
又∵C（-1，2）與對(duì)稱軸相距2，E（4，2）與對(duì)稱軸相距3，
∴C、E兩點(diǎn)不可能同時(shí)在拋物線y=a（x-1）²+k（a＞0）上；

（2）假設(shè)點(diǎn)A（1，0）在拋物線y=a（x-1）²+k（a＞0）上，
則a（1-1）²+k=0，解得k=0，
因?yàn)閽佄锞�經(jīng)過5個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn)，
將B（0，-1）、C（-1，2）、D（2，-1）、E（4，2）代入，
得出a的值分別為a=-1，a=

1

2

，a=-1，a=

2

9

，所以拋物線經(jīng)過的點(diǎn)是B，D，
又因?yàn)閍＞0，與a=-1矛盾，
所以假設(shè)不成立．
所以A不在拋物線y=a（x-1）²+k（a＞0）上；

（3）將D（2，-1）、C（-1，2）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=a（x-1）²+k中，
得

a+k=-1  4a+k=2

，
解得

a=1 k=-2

，符合題意；
將E（4，2）、D（2，-1）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=a（x-1）²+k中，
得

9a+k=2   a+k=-1

，
解得

a= 3 8 k=- 11 8

，符合題意．
綜上所述，拋物線可能經(jīng)過的三點(diǎn)是B、C、D或B、D、E．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)．關(guān)鍵是明確圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)必須滿足函數(shù)解析式．