Question

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸的兩個交點分別為A（-3，0）、B（1，0），過頂點C作CH⊥x軸于點H。

（1）直接填寫：a=____，b=____，頂點C的坐標(biāo)為____；
（2）在軸上是否存在點D，使得△ACD是以AC為斜邊的直角三角形？若存在，求出點D的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
（3）若點P為x軸上方的拋物線上一動點（點P與頂點C不重合），PQ⊥AC于點Q，當(dāng)△PCQ與△ACH相似時，求點P的坐標(biāo)。

Answer 1

解：（1）a=-1，b=-2，頂點C的坐標(biāo)為（-1，4）；
（2）假設(shè)在y軸上存在滿足條件的點D，過點C作CE⊥y軸于點E， 由∠CDA=90°得，∠1+∠2=90°， 又∠2+∠3=90°， ∴∠3=∠1， 又∵∠CED=∠DOA=90°， ∴△CED∽△DOA， ∴， 設(shè)D（0，c），則， 變形得，解之得， 綜合上述：在y軸上存在點D（0，3）或（0，1）， 使△ACD是以AC為斜邊的直角三角形；
（3）①若點P在對稱軸右側(cè)（如圖①），只能是△PCQ∽△CAH， 得∠QCP=∠CAH， 延長CP交x軸于M， ∴AM=CM， ∴AM2=CM2， 設(shè)M（m，0），則（m+3）2=42+（m+1）2， ∴m=2，即M（2，0）， 設(shè)直線CM的解析式為y=k1x+b1， 則，解之得， ∴直線CM的解析式， 聯(lián)立，解之得或（舍去）， ∴， ②若點P在對稱軸左側(cè)（如圖②），只能是△PCQ∽△ACH， 得∠PCQ=∠ACH， 過A作CA的垂線交PC于點F，作FN⊥x軸于點N， 由△CFA∽△CAH得， 由△FNA∽△AHC得， ∴，點F坐標(biāo)為（-5，1）， 設(shè)直線CF的解析式為y=k2x+b2，則，解之得， ∴直線CF的解析式， 聯(lián)立，解之得或（舍去）， ∴， ∴滿足條件的點P坐標(biāo)為或。