Question

如圖，已知直線PA交⊙O于A、B兩點(diǎn)，AE是⊙O的

直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，且AC平分∠PAE，過C作CD⊥PA，垂足為D．

(1)求證：CD為⊙0的切線；(2)若DC+DA=6，⊙O的直徑為10，求

AB的長度，

Answer 1

 （1）證明：連接OC                                         

∵OA=OC

∴

又

∴∠DAC=∠OCA                                         

∴PB∥CO

∴∠PDC=∠DCO=90°

∴OC⊥DC                                                             ……3分

又OC為⊙O的半徑

∴CD為⊙O的切線.                                                     ……4分

（2）解：:過O作，垂足為F，則，

在中，由勾股定理知

即

化簡(jiǎn)得：

解得：或x=9.                                               ……6分

由，知，故                                ……7分

從而AD=2，                                    

因?yàn)?sub>，由垂徑定理知F為AB的中點(diǎn)，所以    ……8分

（若設(shè)OF=x，可得方程：（x-1）²+x²=25，解得：x₁=4，x₂=－3（舍去），AF=4－1=3，AB=2AF=6）