Question

幾何模型：
條件：如圖1，A、B是直線l同旁的兩個定點．
問題：在直線l上確定一點P，使PA+PB的值最�。�
方法：作點A關于直線l的對稱點A′，連結A′B交l于點P，則PA+PB=A′B的值最小（不必證明）．
模型應用：
（1）如圖2，正方形是大家喜愛的一種軸對稱圖形，它的對角線所在的直線就是對稱軸．現在有一個邊長為2的正方形ABCD，E為AB的中點，P是AC上一動點． 請求出EP+PB的最小值．

（2）如圖3，∠AOC=45°，P是∠AOB內一點，PO=10，Q、R分別是OA、OB上的動點，求△PQR周長的最小值．

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題

專題：

分析：（1）根據正方形的性質，點B、D關于AC對稱，連接DE與AC的交點即為所求點P，EP+PB的最小值等于DE，然后利用勾股定理列式計算即可得解；
（2）作點P關于OA的對稱點P₁，關于OB的對稱點P₂，連接P₁P₂，求出△PQR周長的最小值=P₁P₂，連接OP₁、OP₂，根據軸對稱的性質求出△OP₁P₂是等腰直角三角形，然后求解即可．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴點B、D關于AC對稱，
∴連接DE與AC的交點即為所求點P，EP+PB的最小值=DE，
由勾股定理得，DE=

22+12

=

5

；

（2）作點P關于OA的對稱點P₁，關于OB的對稱點P₂，連接P₁P₂，
則△PQR周長的最小值=P₁P₂，
連接OP₁、OP₂，則OP=OP₁=OP₂，∠AOP=∠AOP₁，∠BOP=∠BOP₂，
所以，OP₁=OP₂，∠P₁OP₂=2∠AOB=2×45°=90°，
所以，△OP₁P₂是等腰直角三角形，
∵PO=10，
∴PO₁=10，
∴P₁P₂=

2

PO₁=10

2

，
即△PQR周長的最小值為10

2

．

點評：本題考查了利用軸對稱確定最短路線問題，等腰直角三角形的判定與性質，熟記軸對稱的性質以及最短路線的確定方法是解題的關鍵．