Question

如圖：∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于點E．
（1）求證：∠E=∠A．
（2）若BE、CE是△ABC兩外角平分線且交于點E，則∠E與∠A又有什么關(guān)系？

Answer 1

（1）證明：∵∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠2=（∠A+∠ABC）．
又∵∠4=∠E+∠2，
∴∠E+∠2=（∠A+∠ABC）．
∵BE平分∠ABC，
∴∠2=∠ABC，
∴∠ABC+∠E=（∠A+∠ABC），
∴∠E=∠A；

（2）如圖2所示，
∵BE、CE是兩外角的平分線，
∴∠2=∠CBD，∠4=∠BCF，
而∠CBD=∠A+∠ACB，∠BCF=∠A+∠ABC，
∴∠2=（∠A+∠ACB），∠4=（∠A+∠ABC）．
∵∠E+∠2+∠4=180°，
∴∠E+（∠A+∠ACB）+（∠A+∠ABC）=180°，即∠E+∠A+（∠A+∠ACB+∠ABC）=180°．
∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，
∴∠E+∠A=90°．
分析：（1）由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，得∠ACD=∠A+∠ABC，∠4=∠E+∠2；由角平分線的性質(zhì)，得∠4=（∠A+∠ABC），∠2=∠ABC，利用等量代換，即可求得∠A與∠E的關(guān)系；
（2）根據(jù)題意畫出圖形，由于BE、CE是兩外角的平分線，故∠2=∠CBD，∠4=∠BCF，由三角形外角的性質(zhì)可知，∠CBD=∠A+∠ACB，∠BCF=∠A+∠ABC，由角平分線的定義可知，∠2=（∠A+∠ACB），∠4=（∠A+∠ABC），根據(jù)三角形定理可知∠E+∠2+∠4=180°，故可得出∠E+∠A+（∠A+∠ACB+∠ABC）=180°，再由∠A+∠ACB+∠ABC=180°即可得出結(jié)論．
點評：本題考查的是三角形外角的性質(zhì)，在解答此類問題時往往用到三角形的內(nèi)角和是180°這一隱藏條件．