Question

17．?ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E，線DC于點(diǎn)F
（1）求證：CE=CF；
（2）若∠ABC=120°，F(xiàn)G∥CE，F(xiàn)G=CE，求∠BDG．

Answer 1

分析 （1）由角平分線的定義得出∠BAE=∠DAE，由平行四邊形的性質(zhì)得出∠CEF=∠DAF，∠CFE=∠BAE，得出∠CEF=∠CFE，即可得出結(jié)論；
（2）連接EG，CG，先證明四邊形ECFG為菱形，得出∠CFG=60°，△CFG為等邊三角形，再證明△DGF≌△BGC，得出BG=DG，∠BGC=∠DGF，得出∠BGD=∠CGF=60°，證出△BDG為等邊三角形，即可得出結(jié)論．

解答 證明：（1）∵AF平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
又AB∥BC，
∴∠CEF=∠DAF，
∵AB∥CD，
∴∠CFE=∠BAE，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF；
（2）連接EG，BG，CG，如圖所示：
∵AB∥CD，
∴∠ECF=∠ABC=120°，∠BAD=60°，
∴∠DAF=30°，
∵FG∥CE，F(xiàn)G=CE，
∴四邊形ECFG是平行四邊形，
∵CE=CF，
∴四邊形ECFG為菱形，
∴∠CFG=60°，∠CFE=30°=∠DAF，∠ECG=∠FCG=60°，△CFG為等邊三角形，
∴CG=GF，∠BCG=∠DFG=60°，AD=FD=BC，
在△DGF和△BGC中，$\left\{\begin{array}{l}{FD=BC}&{\;}\\{∠DFG=∠BCG=60°}&{\;}\\{GF=CG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DGF≌△BGC（SAS），
∴BG=DG，∠BGC=∠DGF，
∴∠BGD=∠CGF=60°，
∴△BDG為等邊三角形，
∴∠BDG=60°．

點(diǎn)評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．