Question

已知：如圖，△ABC中，點(diǎn)D是BC邊上的一點(diǎn)，∠ADE=∠ABC=60°，DE交∠ABC的外角平分線于點(diǎn)E．求證：△ADE是等邊三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：在線段BA上截取BM，使BM=BD，由等邊三角形的判定可得△BDM是等邊三角形，進(jìn)而證明∠AMD=∠DBE，∠ADM=∠BDE，再由DB=DB，可證明△ADM和△EDB全等，得出AE=ED，根據(jù)等邊三角形的判定得出△ADE是等邊三角形．

解答：證明：在線段BA上截取BM，使BM=BD．
∵∠ABC=60°，
∴△BDM為等邊三角形，∠ABF=120°，
∴DM=DB，∠BDM=∠BMD=60°，∠AMD=120°，
又∵BE平分∠ABF，

∴∠DBE=120°，
∴∠AMD=∠DBE，
∵∠ADE=∠BDM=60°，
∴∠1=∠2．
在△ADM和△EDB中

∠AMD=∠DBE DM=DB ∠1=∠2

，
∴△ADM≌△EDB（ASA），
∴AD=ED．
∴△ADE為等邊三角形．

點(diǎn)評：本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)和判定，巧妙作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．