Question

設(shè)關(guān)于x的二次方程（k²-6k+8）x²+（2k²-6k-4）x+k²=4的兩根都是整數(shù)．求滿足條件的所有實數(shù)k的值．

Answer 1

【答案】分析：求出二根x₁=，x₂=，從中消去k得x₁x₂+3x₁+2=0，分解得x₁（x₂+3）=-2．借助方程組得k=6，3，．
解答：解：原方程可化為（k-4）（k-2）x²+（2k²-6k-4）x+（k-2）（k+2）=0，[（k-4）x+（k-2）][（k-2）x+（k+2）]=0．
∵（k-4）（k-2）≠0
∴x₁=，
x₂=；
∴k-4=（x₁≠-1）①
k-2=（x₂≠-1）②
由①②消去k，得 x₁•x₂+3x₁+2=0．
∴x₁（x₂+3）=-2．
由于x₁，x₂都是整數(shù)．
∴，，，即，，
∴k=6，3，．
經(jīng)檢驗，k=6，3，滿足題意．
點評：本題方程整理成關(guān)于x的一元二次方程的一般形式后，二次項系數(shù)不為0 是隱含的條件，應(yīng)考慮．將參數(shù)k用方程兩根表示并最終消去參數(shù)k是解題的關(guān)鍵．