Question

如圖，矩形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接BD交AF于H，AD=5

2

，且tan∠EFC=

2

4

，那么AH的長(zhǎng)為（　�。�

• A、

  10 6

  3

• B、5

  2

• C、10
• D、5

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),解直角三角形

專題：

分析：根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得CE=DE，根據(jù)矩形的對(duì)邊平行可得AD∥BC，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠DAE=∠CFE，然后利用“角角邊”證明△ADE和△CFE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CF=AD，再求出BF，然后利用tan∠EFC求出AB，再利用勾股定理列式求出AF，再求出△ADH和△FBH相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出

AH

FH

，再求解即可．

解答：解：∵E為CD的中點(diǎn)，
∴CE=DE，
在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAE=∠CFE，
在△ADE和△CFE中，

∠DAE=∠CFE ∠AED=∠FEC CE=DE

，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴CF=AD=5

2

，
∴BF=BC+CF=AD+CF=5

2

+5

2

=10

2

，
∵tan∠EFC=

2

4

，
∴AB=10

2

×

2

4

=5，
在Rt△ABF中，AF=

AB2+BF2

=

52+(10 2 )2

=15，
∵AD∥BC，
∴△ADH∽△FBH，
∴

AH

FH

=

AD

BF

=

5 2

10 2

=

1

2

，
∴AH=

1

1+2

AF=

1

3

×15=5．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，綜合題，但難度不大，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．