Question

如圖，直線y=-x+4與x軸、y軸分別交于C、D，以O(shè)D為直徑作⊙A交CD于F，F(xiàn)A的延長(zhǎng)線交⊙A于E，交x軸于B．
（1）設(shè)F（a，b），求以a，b為根的一元二次方程；
（2）求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）過(guò)F作EH⊥BC，H為垂足，連接OF，由直線方程得，OD=4，OC=8，CD=4，
∵∠OFD為直徑OD所對(duì)圓周角，
∴OF⊥DC，OF==，
在Rt△OFC中，F(xiàn)C==，F(xiàn)H==，OH==，
∴a=，b=，
∴所求方程為x²-x+=0；

（2）∵在Rt△BAO和Rt△BFH中，∠B為公共角，
∴Rt△BAO∽R(shí)t△BFH，
∴=，==，
∴BE=．
分析：（1）作輔助線FO和FH，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是90度，構(gòu)造出直角三角形OFC，利用勾股定理求出a，b的值；
（2）利用相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)相似比來(lái)求．
點(diǎn)評(píng)：此題結(jié)合了圓的相關(guān)定理和勾股定理以及根據(jù)方程的根構(gòu)造一元二次方程，綜合性較強(qiáng)且難度適中，是一道好題．