Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的三個頂點(diǎn)B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.拋物線y=ax²+bx過A、C兩點(diǎn).   
(1)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求出拋物線的解析式；
(2)動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)．沿線段AB向終點(diǎn)B運(yùn)動，同時點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CD向終點(diǎn)D運(yùn)動．速度均為每秒1個單位長度，運(yùn)動時間為t秒.過點(diǎn)P作PE⊥AB交AC于點(diǎn)E
①過點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)G.當(dāng)t為何值時，線段EG最長?
②連接EQ．在點(diǎn)P、Q運(yùn)動的過程中，判斷有幾個時刻使得△CEQ是等腰三角形?請直接寫出相應(yīng)的t值.

Answer 1

(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，8）           
將A (4,8)、C（8，0）兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入y=ax²+bx
得8=16a+4b
0=64a+8b
解得a=,b=4
∴拋物線的解析式為：y=-x²+4x       
（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE==,即=
∴PE=AP=t．PB=8-t．
∴點(diǎn)Ｅ的坐標(biāo)為（4+t，8-t）.
∴點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為：-（4+t）²+4(4+t）=-t²+8.  
∴EG=-t²+8-(8-t)
=-t²+t.
∵-＜0，∴當(dāng)t=4時，線段EG最長為2.       
②共有三個時刻：t₁=，  t₂=，t₃= ．               

解析